Թեմա՝ Քառակուսային հավասարման գաղափարը։ Թերի քառակուսային հավասարումներ։
ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:
Օրինակ
2x2+3x−8=0, −3x2+2x+1=0, x2+5x=0, 2x2−4=0, 25x2=0 հավասարումները քառակուսային հավասարումների օրինակներ են:
a թիվն անվանում են ավագ անդամի՝ x2 -ու գործակից, b թիվը՝ x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:
Քանի որ a≠0, ապա ցանկացած քառակուսային հավասարում ունի ax2 ավագ անդամը: Այդ պատճառով քառակուսային հավասարումն անվանում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարում:
Քառակուսային հավասարման ուսումնասիրման հարցերում կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b2−4ac
D=b2−4ac թիվն անվանում են ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:
Օրինակ
1) 2x2−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x2 -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)2−4⋅2⋅(−5)=9+40=49
2) x2−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x2 -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28
Հիշենք, որ
x անհայտով հավասարման արմատ կամ լուծում անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x -ի փոխարեն տեղադրելով ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն:
Լուծել հավասարումը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները կամ ցույց տալ, որ արմատներ չկան:
Ուշադրություն
Եթե ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարման մեջ a=0, այսինքն, չկա x2 պարունակող անդամը, ապա հավասարումը քառակուսային չէ:
Վերջին երեք օրինակներում a≠0 (այսինքն, դրանք քառակուսային հավասարումներ են), սակայն՝
x2+2x=0 հավասարման մեջ c=0
2x2−6=0 հավասարման մեջ b=0
12x2=0 հավասարման մեջ երկուսն էլ զրո են՝ b=0, c=0
Այս օրինակներում բերվածները կոչվում են թերի հավասարումներ:
Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:
Օրինակ
Լուծենք հետևյալ թերի հավասարումները՝
1) x2+3x=0
x2+3x=0 x(x+3)=0 x=0 x=−3
Պատասխան՝ x=0,x=−3
2) 2x2−8=0
2x2−8=0 x2−4=0 (x−2)(x+2)=0 x1=2 x2=−2
Պատասխան՝ x1=2,x2=−2
3) 7x2=0
7x2=0 x2=0 x=0
Պատասխան՝ x=0
Հարցեր և առաջադրանքներ։
1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։
ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:
2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։
D=b2−4ac
1) 2x2−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x2 -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)2−4⋅2⋅(−5)=9+40=49
2) x2−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x2 -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28
3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։
Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:
4․ Կազմել ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․
ա) 3x2+4x+5=0
բ) 3x2-2x+6=0
գ) x2-x+2=0
դ) -x2+3x-2=0
5․ Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը․
ա) 49
բ) 21
գ) 0
դ) -3
6․ Ստուգել՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է․
ա) այո
բ) ոչ
գ) ոչ
դ) ոչ
ե) այո
զ) ոչ
Լուծել հավասարումները․
ա) x=-1, 1
բ) x=0
գ) x=0, 1
դ) x=-3, 0
ե) x=-2, 3
զ) x=-5, 7
է) x=0, 1/2
ը) x=-2, 0
թ) x=-5, 8
ժ) x=-1, 4
7․ Լուծել հավասարումները․
ա) x=0, 4
բ) x=-6, 0
գ) x=-1/3, 0
դ) x=0, 1/2
ե) x=-2/3, 0
զ) x=0
է) x=5/7, 0
ը) x=3/11, 0
թ) x=0, 6
8․ Լուծել հավասարումները․
ա) x=√3, -√3
բ) x=√5, -√5
գ) x=√3, -√3
դ) x=5√2, -5√2
ե) x=√3/2, -√3/2
զ) x=∅
է) x=48, -48
ը) x=5,6, -5,6
թ) x=200, -200
Դավիթ Մուրադյանի բլոգ, 