Защищено: Պարապմունք 55

Это содержимое защищено паролем. Для его просмотра введите, пожалуйста, пароль:

Пароль:

Պարապմունք 54

Թեմա՝ Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործվում են եռանկյան կողմերի և անկյունների հաշվման համար:

1) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

2) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

3) Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին:

α անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը նշանակում են sinα,cosα,tgα և կարդում՝ «սինուս ալֆա», «կոսինուս ալֆա» և «տանգենս ալֆա»:

Ինչպե՞ս ընտրել ճիշտ ֆունկցիան

Եթե օգտագործվում են միայն էջերը, ապա կիրառվում է tg:

Եթե օգտագործվում է ներքնաձիգը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում են sin կամ cos:

Եթե օգտագործվում է դիմացի էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է sin:

Եթե օգտագործվում է կից էջը (տրված է, կամ պետք է հաշվել), ապա կիրառվում է cos:

Եթե տրված են եռանկյան երկու սուր անկյունները, ապա հարմար է գծագրի վրա նշել դրանցից միայն մեկը, որպեսզի միարժեքորեն հասկանանք, թե որն է կից էջը, իսկ որը՝ դիմացի էջը:

Ներքնաձիգը միշտ հայտարարում է:

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1․ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին:

2․ 2 ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքների վերաբերյալ ո՞ր բանաձևերն են ճիշտ:

ա) tgA=CB/CA
բ)tgA=CA/CB
գ) բոլորն էլ սխալ են
դ) cosA=AC/AB
ե) sinB=AC/AB
զ) բոլորն էլ ճիշտ են
է) sinB=AB/CB
ը) cosA=AC/AB

3․ Գտնել D անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը;

sinD=FE/DF
cosD=DE/DF
tgD=FE/ED

4․ Գտնել F անկյան սինուսը,կոսինուսը և տանգենսը:

sinF=DE/FD
cosF=FE/FD
tgF=DE/EF

5․ Տրված է ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Գտնել A անկյան սինուսն ու կոսինուսը: 

ա) Ո՞րն է A անկյան սինուսը՝    BC/BA CB/AC CA/BA

բ) Ո՞րն է A անկյան կոսինուսը՝ CA/BA CB/AC BC/BA

6․ Կամայական ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը փոքր է մեկից: Բացատրել, ինչո՞ւ

այո, քանի որ սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին, իսկ էջի երկարությունը ավելի փոքր է քան ներքնաձգինը։

7․ Կարո՞ղ է մեկից մեծ արժեք ունենալ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան ա) կոսինուսը բ) տանգենսը: Պատասխանը հիմնավորել:
Ոչ, կոսինուսը չի կարող, քանի որ եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին, իսկ էջը ներքնաձգից փոքր է,
սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին , 1 դեպքում հնարավոր է , երբ մեծ էջն ենք հարաբերում փոքր էջին

8. Գծել ABC ուղղանկյուն եռանկյունը այնպես, որ ∠C=90°, CA=6 սմ և CB=10 սմ: Գտնել A և B սուր անկյունների սինուսը, կոսինոիսը և տանգենսը:

AB²=AC²+CB² =6²+10²=136
AB=√136=11.66

CA=6 սմ
CB=10 սմ
AB=11.66սմ

sinA=CB/AB=10/11,66=0,86
sinB=AC/AB=6/11,66=0,51

cosA=AC/AB=6/11,66=0,51
cosB=CB/AB=10/11,66=0,86

tgA=CB/AC=10/6=1.67
tgB=AC/CB=6/10=0.6

9. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ C -ն ուղիղ անկյունն է, CA=18 սմ և CB=24 սմ: Հաշվել B անկյան տանգենսը, սինուսը և կոսինուսը:

AB²=AC²+CB²=18²+24²=900
AB=30
CA=18 սմ
CB=24 
sinB=AC/AB=18/30=0.6
cosB=BC/AB=24/30=0.8
tgB=AC/CB=18/24=0.75

Պարապմունք 53

Թեմա՝ Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը։

Տեղի ունի նաև Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, որը կիրառվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան հայտանիշ:

Եթե եռանկյան մի կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, ապա այդ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:

Օրինակ՝ Արդյո՞ք 6 սմ, 7 սմ և 9 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝ 9²=6²+7²; 81≠36+49

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն չէ:

Արդյո՞ք 5 սմ, 12 սմ և 13 սմ կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ընտրում ենք մեծ կողմը և ստուգում Պյութագորասի թեորեմի տեղի ունենալը՝ 13²=12²+5²; 169=144+25

Հետևաբար, եռանկյունը ուղղանկյուն է:

Որպեսզի հաշվարկներ չկատարենք, օգտակար է հիշել Պյութագորասի առավել հաճախ պատահող թվերը՝

էջ, էջ, ներքնաձիգ՝ 3;4;5 6;8;10 12;16;20 5;12;13

Դիտիր Պյութագորասի թեորեմի ևս մի յուրահատուկ ապացույց:

Առաջադրանքներ։

1․ Պարզել, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․ ա) 6;8;10 այո, բ) 5;6;7 ոչ, գ) 9;12;15 այո, դ) 10;24;26 այո, ե) 3;4;6 ոչ զ) 11;9;13б ոչ է) 15;20;25։ այո

2. Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․

ա)

PH=9
HS=12

SP² = 9² + 12² = 225
SP=√225=15

բ)

CA=6×2=12
CF=10×2=20

BD²=10²-6²=64
BD=√64=8

AF²=20-12²=256
AF=√256=16

գ)

BA²=3²+4²=9+16=25
BA=√25=5
BA=BD=5

DC=5+3=8
DC=8*0,3048=2,4384

3. Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․

1) x² = 3² + 3² = 18

x = √18=4.24

2) 10² – 6² = 64

√64 = 8

3) x² + x² = 36

36/2 = √18 = 4.24

4) x2 = 100 – 64 = 36

x = 6

S = 6×8/2 = 24

5) x² = 10² + 6² = 100 + 36 = 136

x = √136 = 11.6

6)

x² = (2a)² – a² = 3a²

x = √3a² = a√3

4. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 62 է, իսկ հիմքը՝ 20 : Գտնել հիմքին տարված բարձրությունը։

62-20=42
42/2=21
20/2=10

x²=21²-10²=341
x=√341=18.466

Պարապմունք 51

Թեմա՝ Պյութագորասի թեորեմը

Մաթեմատիկայում Պյութագորասն ունեցավ մեծ հաջողություններ: Երկրաչափության ամենահայտնի թեորեմներից է Պյութագորասի թեորեմը, որի հայտնագործությունն ու ապացույցը վերագրվում է Պյութագորասին:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին:  

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ գոյություն ունեն պնդումներ այն մասին, որ այդ թեորեմը գիտեին դեռևս Պյութագորասից շատ առաջ: Մասնավորապես, եգիպտացիները գիտեին, որ 3, 4 և 5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է:  

Ներկայումս թեորեմը հնչում է այսպես՝

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է եռանկյան էջերի քառակուսիների գումարին՝ c²=a²+b²

Հայտնի են այս թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, սակայն ամենաակնառու ապացույցներից մեկը հիմնված է մակերեսների վրա:

1. Կառուցենք եռանկյան էջերի a+b գումարին հավասար կողմով քառակուսի: Քառակուսու մակերեսը (a+b)² է:

2. Եթե տանենք c ներքնաձիգները, ապա կառուցված քառակուսու ներսում կառաջանա ևս քառանկյուն: Քառանկյան բոլոր կողմերը հավասար են c-ի, իսկ անկյունները՝ ուղիղ են: Իրոք, ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է, հետևաբար քառանկյան անկյունը ևս պիտի լինի 90°, որպեսզի նրանց գումարը հավասար լինի 180° -ի:

Այսպիսով, առաջացած քառանկյունը ևս քառակուսի է: Հետևաբար, մեծ քառակուսու մակերեսը բաղկացած է ներսի քառակուսու մակերեսից և չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների մակերեսներից:

3. Մեծ քառակուսու երկու կողմերի վրա տեղերով փոխենք a և b հատվածները, դրանից քառակուսու կողմը չի փոխվի: Հիմա քառակուսու մակերեսը բաղկացած է (a\) և b կողմերով երկու քառակուսիներից և երկու ուղղանկյուններից՝

4. Համեմատելով մեծ քառակուսու մակերեսը երկու նկարներում, եզրակացնում ենք, որ՝ 4⋅ab²+c²=a²+2ab+b², որտեղից գալիս ենք պահանջվող հավասարությանը՝

c²=a²+b²

Առաջադրանքներ։

1․ Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներգնաձիգը ՝ ըստ տրված a և b էջերի

ա) a=3 սմ, b=4 սմ,

c²=a²+b²
c²=3²+4²=9+16=25
c=√25=5

բ) a=5 սմ, b=12 սմ։

c²=a²+b²
c²=5²+12²=25+144=169
c=√169=13

2․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 60 սմ և 80 սմ են: Գտնել եռանկյան ներքնաձիգը:

c²=60²+80²=3600+6400=10000
c=√10000=100

3․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներգնաձիգը ՝ c-ն: Գտեք b-ն, եթե ՝

ա) a=12 սմ, c=13 սմ

b²=c²-a²=13²-12²=169-144=25
b=√25=5

բ) a=9, c=15;

b²=c²-a²=15²-9²⁼225-81=144
b=√144=12

4․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջը 5 սմ է, իսկ ներքնաձիգը՝ 13 սմ: Գտնել եռանկյան մակերեսը:

13² =5²+a²
a²=13²-5²=169-25=144
a=√144=12

S=(a*b)/2=(5×12)/2= 30սմ²

5․ Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 13 դմ և 25 դմ երկարություններով հատվածներ են: Փոքր սրունքը 9 դմ է: Հաշվել սեղանի մեծ սրունքը:

a² = (13² +25² )-9² =713
a=√713=26.7

6․ Մայրիկը բակում ուզում է կառուցել ուղղանկյունաձև ծաղկանոց՝ 6 մ և 8 մ կողմերով: Որքա՞ն պիտի լինի ծաղկանոցի անկյունագիծը, որպեսզի այն ունենա ուղղանկյան ձև:

c²=a²+b²
c²=6²+8²=36+64=100
c=√100=10

7․ Շեղանկյան անկյունագծերը 14 սմ և 48 սմ են: Հաշվել շեղանկյան կողմը:

Շեղանկյան անկյունագծերը հատման կետում կիսվում են 14:2 =7, 48:2=24։
Շեղանկյան բոլոր կողմերը հավասար են։

c²=a²+b²=7² + 24² = 625
c=√625=25

8․ Քառակուսու կողմը 25 սմ է: Հաշվել քառակուսու անկյունագիծը:

c²=a²+b²=25² +25²=1250
c=√1250=35.355

9․ Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 20 սմ է, իսկ սրունքը՝ 26 սմ: Հաշվել հիմքին տարված բարձրությունը:
Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը հիմքը բաժանում է 2 հավասար մասերի, հետևաբար a=20/2=10

b²=c²-a²=26²-10²=676-100=576
b=√576=24

10․Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 17 սմ է, իսկ հիմքը ՝ 16 սմ: Գտեք հիմքին տարված միջնագիծը:
Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը հիմքը բաժանում է 2 հավասար մասերի, հետևաբար a=16/2=8
b²=c²-a²=17² -8²=225
b=√225=15

11․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջը 15 սմ է, իսկ ներքնաձիգը՝ 25 սմ: Հաշվել երկրորդ էջի երկարությունը:
b²=c²-a²=25² -15²=400
b=√400=20

12․ Ուղղահայաց պատին հենած է սանդուղք: Սանդուղքի երկարությունը 50 մ է: Սանդուղքի ծայրը, որը հենված է գետնին, գտնվում է պատից 30 մ հեռավորության վրա: Հաշվել, թե գետնից ի՞նչ հեռավորության վրա է գտնվում սանդուղքի երկրորդ ծայրը:

b²=c²-a²=50²-30²=1600
b=√1600=40

Պարապմունք 50

Թեմա՝ Խորանարդի և ուղղանկյունանիստի մակերևույթների մակերեսները։

Ուղղանկյունանիստի մակերևույթը բաղկացած է 6 ուղղանկյունաձև նիստերից՝ 4 կողմնային նիստերից և 2 հիմքերից: Հանդիպակաց նիստերն իրար հավասար են, հետևաբար հավասար են նաև նրանց մակերեսները:

Ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր նիստերի մակերեսների գումարին:

Ուստի, այն հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ S_լրիվ=S_կողմն+2⋅S_հիմք

S_կողմն=2ac+2bc S_հիմք=ab

Գումարելով այս բանաձևերը (հաշվի առնելով, որ ուղղանկյունանիստն ունի 2 հիմք), ստանում ենք ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը՝

S_լրիվ=2⋅(ab+ac+bc), որտեղ a-ն, b-ն և c-ն ուղղանկյունանիստի չափումներն են:

Ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ: Խորանարդի նիստերը իրար հավասար 6 քառակուսիներ են (a=b=c)։ Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը նրա 6 նիստերի մակերեսների գումարն է։ Քանի որ խորանարդի 6 նիստերը իրար հավասար քառակուսիներ են, ուրեմն, խորանարդի մակերևույթի մակերեսը հաշվելու համար պետք է գտնել 1 քառակուսու մակերեսը և արդյունքը բազմապատկել 6-ով։

Խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը․ S=6a²

Առաջադրանքներ․

1.Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը 2,1 սմ է:

S=6*2.1²=26,46

2.Գտնել այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 24սմ² : Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։

24սմ²/6=4
√4=2

3․ Հաշվել  8 սմ կող ունեցող  խորանադի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

S=6*8²=384

4․ Ուղղանկյունանիստի հիմքը a=6սմ և b=7սմ կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ կողմնային կողը՝ c=8սմ։ Գտնել այդ ուղղանկյունանիստի`

ա) հիմքի մակերեսը

a*b=6*7=42սմ²

բ) կողմնային մակերևույթի մակերեսը

2(42+48)=180

գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը․

2*42+180=264

5. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 8 սմ կողմով քառակուսի է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է 112 սմ² ։ Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային կողը և լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

112=4x8xc
c=112/32=3.5

S=2×(8×8+8×3.5+8×3.5)=240

6․ Գտնել այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 150 դմ² : Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։

150։6=25
√25=5

7. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 24 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային կողը հավասար է 5,5 սմ։ Գտնել այդ ուղղանկյունանիստի

ա) կողմնային մակերևույթի մակերեսը
24*5.5=132

բ) հիմքի մակերեսը
5.5² = 30.25

գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը
132+2*30.25=132+60.5=192.5

8․ Ուղղանկյունանիստի չափումներն են՝ 5 սմ,6 սմ, 4 սմ։ Գտնել նրա մակերևույթի մակերեսը։
S_լրիվ=2⋅(ab+ac+bc)

S_լրիվ=2(30+20+24)=148

9․ Կարո՞ղ են արդյոք ուղղանկյունանիստի նիստերի մակերեսների արժեքները լինել այսպիսին․ 3 սմ², 4 սմ², 5 սմ², 3 սմ², 6 սմ², 2 սմ²։

Ոչ չի կարող

10․ Ունենք 3 սմ կող ունեցող մի խոերանարդ։ Քանի՞ քառակուսի սանտիմետրով կավելանա նրա մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը մեծացնենք 1 սմ-ով։

3²=9
9×6=54

4²=16
16×6=96

96-54=42

11․ Ունենք երկու ուղղանկյունանիստ, որոնցից մեկի չափումներն են՝ 3 սմ, 2 սմ, 6 սմ, մյուսինը՝ 1 սմ, 5 սմ, 4 սմ։ Ո՞ր ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսն է ավելի մեծ։

S₁=2(6+12+18)=72
S₂=2(5+4+20)=58
72>58
S₁>S₂

Պարապմունք 49

Թեմա՝ Սեղանի մակերեսը։

Առաջադրանքներ։

1․ Տրված է ուղղանկյուն սեղան, որի փոքր հիմքը 6 սմ է: Փոքր սրունքը 18 սմ է, իսկ մեծը՝ հիմքի հետ կազմում է ∠45° -ի անկյուն: Գտնել սեղանի մակերեսը:

(18+6+6) /2 * 18=270

2․ Ունենք ուղղանկյուն սեղան, որի հիմքեր են 9սմ ,18սմ, իսկ մեծ սրունքն, որն հիմքի հետ կազմում է ∠30° -ի անկյուն, հավասար է 16սմ ։ Գտնել սեղանի մակերեսը։

∠30° -ի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձգի կեսին, հետևաբար

16/2=8սմ
S=(9+18)/2*8=108

3․ Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, միջին գիծը 10 սմ է, իսկ բարձրությունը 4 սմ: Գտնել սեղանի մակերեսը:

Քանի որ, միջին գիծը հավասար է սեղանի հիմքերի կիսագումարին ապա՝ S=4×10=40:

4․ Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյունը 135^օ է, իսկ այդ անկյան գագաթից տարված բարձրությունը մեծ հիմքը տրոհում է 1,4 սմ և 3․4 սմ հատվածների։ Գտնել սեղանի մակերեսը:

3,4+1,4,=4,8
3,4-1,4=2
(4,8+2):2=3,4
3,4*1,4=4,76 սմ²

5․ Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 10 մ է, բարձրությունը՝ 3 մ, իսկ սրունքի և մեծ հիմքի կազմած անկյունը՝ 45⁰: Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և մակերեսը։
10-3-3=4
(4+10):2=7
7*3=21

Պարապմունք 48

Թեմա՝ Սեղանի մակերեսը։

Բարձրությամբ և անկյունագծով սեղանը բաժանվում է երեք եռանկյունների: Սեղանի մակերեսը հաշվում ենք, որպես այդ եռանկյունների մակերեսների գումար:

S_ABCD=S_ABD+S_DBC S_ABCD=AD⋅BE/2+BC⋅DF/2=AD⋅BE/2+BC⋅BE/2=(AD+BC)⋅BE/2

Եթե սեղանի զուգահեռ կողմերը (հիմքերը) նշանակենք a և b, իսկ բարձրությունը՝ h, ապա՝

S_սեղան=a+b/2⋅h

Ուշադրություն

Նշենք մի քանի կարևոր հետևանքներ:

1. Եթե եռանկյունների բարձրությունները հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես հիմքերը:

2. Եթե եռանկյունների հիմքերը հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հարաբերվում են ինչպես բարձրությունները:

3. Եթե եռանկյունների բարձրություններն ու հիմքերը հավասար են, ապա եռանկյունները հավասարամեծ են: Օրինակ՝ միջնագիծը եռանկյունը բաժանում է երկու հավասարամեծ եռանկյունների:

Առաջադրանքներ։

1․ Սեղանի հիմքերը 3 մ և 7 մ են, իսկ բարձրությունը՝ 6 մ: Հաշվիր սեղանի մակերեսը:

S=(3+7)/2 * 6=5*6=30մ²

2․ Ո՞ր հատվածի երկարությունն է հավասար սեղանի հիմքերի կիսագումարին:

• միջնուղղահայացի
• միջին գծի
• անկյունագծի

3․Գտնել AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա) AD=21սմ, BC=17սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,
S_ABCD = (AD+BC)2 * BH=(21+17)/2 * 7 = 19*7= 133սմ²

բ) ∠D=30, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,
եթե տանենք սեղանի բարձրությունը, ապա կստացվի ուղղանկյուն եռանկյուն, որտեղ 30 աստիճանի դիմացի էջը, որը սեղանի բարձրությունն է, հավասար է ներքնաձգի կեսին, այսինք ն h=8/2=4
S=(AD+BC)/2*h=(10+2)/2*4​=6*4​=24սմ²

գ) CD⊥AD, AD=13սմ, CD=8սմ, BC=5սմ:
եթե CD⊥AD, նշանակում է, որ CD-ն հենց սեղանի բարձրությունն է, հետևաբար h=8
S=(AD+BC)​/2 * =(13+5)/2 *8​=9*8=72սմ²

4. Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32 սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝ 44սմ²: Գտեք սեղանի բարձրությունը:

BC+AD=P-(AB+CD)=32-10=22սմ
S=(BC+AD)/2 * h
44=22/2 * h
44=11h
h=44/11=4

5․ ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար 10սմ և 8 սմ են: ACD եռանկյան մակերեսը 30սմ² է: Գտեք սեղանի մակերեսը:
S ACD=(AD*h)/2
30=(10*h)/2
h=30/5=6

SABCD=(10+8)/2 * 6=9*6=54սմ²

6. Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 30 սմ² է, պարագիծը՝ 28 սմ, իսկ փոքր սրունքը՝ 3 սմ: Գտնել սեղանի մեծ սրունքը:

փոքր սրունքը հենց բարձրությունն է, հետևաբար h=3

30=3*(BC+AD)/2
BC+AD=20
CD=28-(3+20)=5

7. Գտնել ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը, որի փոքր կողմերը 6սմ են, իսկ մեծ անկյունը՝ 135^o:

180-135=45

CH=DH=6

AD=AH=HD=6+6=12

S=(6+12)/2*6=54

8․ Տրված է ուղղանկյուն սեղան, որի փոքր հիմքը 6 սմ է: Փոքր սրունքը 18 սմ է, իսկ մեծը՝ հիմքի հետ կազմում է ∡45° -ի անկյուն: Գտնել սեղանի մակերեսը:

(18+6+6) /2 * 18=270

Պարապմունք 47

Թեմա՝ Եռանկյան մակերեսը (կրկնողություն)։

Առաջադրանքներ։

1․Օգտվելով գծագրից, գտնել ABD, BDC և ABC եռանկյունների մակերեսները։

<A=180-90-45=45, հետևաբար AD=BD=12սմ

S_ABD=(12×12)/2=72սմ²

S_BDC=(12×16)/2=96սմ²

S_ABC=72+96=168սմ²

2․Օգտվելով գծագրից, գտնել ABD, ADC և ABC եռանկյունների մակերեսները։

<ADC=180-135=45

<DAC=180-90-45=45, հետևաբար ADC-ն հավասարասրուն եռանկյուն է, այսինքն DC=AD=8

S_ADC=(8×8)/2=32սմ²

DB=8+4=12

S_ADB=(8×12)/2=48սմ²

S_ACB=S_ADB-S_ADC=48-32=16սմ²

3. 9Օգտվելով գծագրից, գտնել ABC եռանկյան մակերեսը։

<A=180-90-60=30

30^o դիմացի էջը հավասար է ներքնաձգի կեսին, հետևաբար CB-ն հավասար է AB/2=20/2=10:

S_ABC=(12×10)/2=60սմ²

4. ABC եռանկյան մեջ ∠C=135^o, AC=6 դմ, իսկ BD բարձրությունը 2 դմ է։ Գտնել ABD եռանկյան մակերեսը։

△ABD-ն ուղանկյուն եռանկյուն է։
<D=90^o
<BCD=180-135=45
<CBD=180-90-45=45
△BCD-ն հավասարասրուն է, այսինքն CD=BD=2

S_△BCD=(2×2)/2=2դմ²
AD=6+2=8

S_△ABD=(8×2)/2=8դմ²

5. Երկու եռանկյան բարձրությունները հավասար են, իսկ նրանցից մեկի հիմքը երկու անգամ փոքր է մյուսի հիմքից։ Գտնել այդ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը։

1/2

Պարապմունք 45

Թեմա՝ Եռանկյան մակերեսը:

Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների, ապա եռանկյան մակերեսը հավասար է զուգահեռագծի մակերեսի կեսին:

S_{եռանկյուն}=ah_a/2, որտեղ h-ը ուղղանկյան բարձրությունն է (նկարում՝ BE-ն), որը տարված է a կողմին (նկարում՝ AD-ն):

Եռանկյան մակերեսը հաշվելու համար կարելի է օգտագործել եռանկյան ցանկացած կողմը և նրան տարված բարձրությունը: 

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը

Քանի որ ուղղանկյուն եռանկյան էջերը փոխուղղահայաց են, ապա մի էջը կարելի է դիտարկել՝ որպես կողմ, իսկ մյուսը՝ որպես բարձրություն, տարված այդ կողմին: Ստանում ենք հետևյալ բանաձևը՝ S=a ⋅b/2, որտեղ a-ն և b-ն էջերն են:

Առաջադրանքներ:

1. Ո՞ր եռանկյունների մակերեսները կարելի է հաշվել a⋅b/2 բանաձևով: Կարող է լինել մեկ կամ մի քանի պատասխան:

• ոչ մեկի
• ուղղանկյուն եռանկյան
• ցանկացած եռանկյան
• հավասարասրուն եռանկյան

2. Լուծել և լրացնել աղյուսակը:

Եռանկյան կողմը՝ a	6.6մ	10 մմ	10,8 սմ
Բարձրությունը՝ ha	8 մ	10 մմ	5 սմ
Եռանկյան մակերեսը՝ S	26.4 մ²	50 մմ²	27 սմ²

3․ Դիցուք՝ a-ն եռանկյան հիմքն է, h-ը՝ բարձրությունը, իսկ S-ը ՝ մակերեսը։ Գտնել

ա) S-ը, եթե a= 6 սմ, h=11 սմ;
33 սմ²
բ) h-ը, եթե a=15 սմ, S=45 սմ² է,
6 սմ
գ) a-ն, եթե S=h², h=2 սմ։
4 սմ

4․ ABC եռանկյան AB և BC կողմերը համապատասխանաբար 16 սմ և 22 սմ են։ Գտնել BC կողմին տարված բարձրությունը, եթե AB կողմին տարված բարձրությունը 11 սմ է։
16x (11:2)=88
88:(22:2)=8

8սմ

5․ Գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը, եթե նրա էջերն են 4 սմ և 12 սմ։
(4×12):2=24

24 սմ²

6․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 14 սմ, իսկ անկյուններից մեկը՝ 45^օ։ Գտնել եռանկյան մակերեսը։
14x(14:2)=98

98սմ²

7․ ABC եռանկյան մակերեսը 60սմ² է: Գտնել AB կողմը, եթե AC = 15սմ, ∠A=30^o:
(60:15)x2=8
8×2=16

16սմ²

Պարապմունք 44

Թեմա՝ Զուգահեռագծի մակերեսը։

1․ Հաշվիր շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը 20 դմ է, իսկ այդ կողմին տարված բարձրությունը 17 դմ է:

S=a*h=20*17=340դմ քառ.

2․ Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150^օ։ Գտնել շեղանկյան մակերեսը։

3*6 = 18սմ²

3․ Շեղանկյան բարձրությունը 2 սմ -ով փոքր է նրա կողմից: Հաշվիր շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա պարագիծը 32 սմ է:

32։4=8
8-2=6
6×8=48

4․ Զուգահեռագծի մակերեսը 45 սմ² է, իսկ պարագիծը` 42 սմ: Կողմերից մեկին տարված բարձրությունը 5 անգամ փոքր է, քան այդ կողմը: Հաշվել`

1) տարված բարձրությունը, 3սմ
2) կողմը, որին այն տարված է, 15սմ
3) զուգահեռագծի երկրորդ կողմը:  6սմ

5․ Տրված է` CD=4 սմ, AD=8 սմ, BK=4 սմ։ Գտնել  S_ABCD-ն:

8*4=32

6․ Զուգահեռագծի կողմերը 5 սմ և 15 սմ են, իսկ մեծ կողմին տարված բարձրությունը՝ 4.3 սմ: Հաշվիր փոքր կողմին տարված բարձրությունը:

4,3*15=64,5
64,5:5=12,9

7․ Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h₁-ը և h₂-ը՝ բարձրությունները։ Գտնել ա) h₂-ը, եթե a=18 սմ, b=30 սմ, h₁=6սմ, h₂>h₁ ; 10 սմ
բ) եթե մակերեսը՝ S=54 սմ₂, a=4,5 սմ, b=6 սմ։ 9 սմ

8. Գտնել զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։

60^o, 120^o, 60^o, 120^o

9․ Գտնել զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սլսաց սուր անկյան գագաթից։

45^o, 45^o, 135^o, 135^o

10․ ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ ∠ECD=60^օ, ∠CED=90^օ, AB=4 սմ, AD=10 սմ։ Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը։

20 սմ²

Պարապմունք 43

Թեմա՝ Զուգահեռագծի մակերեսը։

 Սահմանենք, թե որն է զուգահեռագծի բարձրությունը:

Զուգահեռագծի բարձրությունը դա ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն: 

BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:  

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

B և C գագաթներից տանենք բարձրություններ AD կողմին:

ABE և DCF ուղղանկյուն եռանկյունները հավասար են (հավասար ներքնաձիգներ՝ զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը, և հավասար էջեր՝ հեռավորությունները զուգահեռ ուղիղների միջև):

ABCD զուգահեռագիծը և EBCF ուղղանկյունը հավասարամեծ են՝ ունեն հավասար մակերեսներ, քանի որ բաղկացած են հավասար պատկերներից:

S_ABCD=S_ABE+S_EBCD S_EBCF=S_EBCD+S_DCF

Հետևաբար, զուգահեռագծի մակերեսը կարելի է հաշվել` հաշվելով ուղղանկյան մակերեսը՝

S_EBCF=BE⋅BC S_ABCD=BE⋅BC=BC⋅AD

Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝ S_{զուգահեռագիծ}=a⋅ h

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Սահմանել զուգահեռագծի բարձրությունը։

Զուգահեռագծի բարձրությունը դա ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

2․ Գրել զուգահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը։

S_{զուգահեռագիծ}=a⋅ h

3․ Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը: Գտնել՝

ա) S-ը, եթե a=14 սմ, h=15 սմ

S=14×15=210

բ) a-ն, եթե S=45 սմ², h=7,5 սմ;

a=45/7,25=6

գ) h-ը, եթե S=153 սմ², a=9 սմ

h=153/9=17

4․ Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 13 է, նրան տարած բարձրությունը՝ 8: Գտնել գուգահեռագծի մակերեսը:

S=13×8=104

5․Զուգահեռագծի մակերեսը 63 է, կողմերից մեկը՝ 9: Գտնել այդ կողմին տարված բարձրությունը։

63:9=7

6․Զուգահեռագծի կից կողմերը 8 և 14 են, իսկ սուր անկյունը՝ 30°: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը:

Տանենք զուգահեռագծի բարձրությունը։ 30 անկյանի դիմացի էջը հավսար է ներքնաձգի կեսին։

8:2=4սմ
4×14=56սմ²

7․Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 և 10 են: Փոքր կողմին տարած բարձրությունը 9 է: Գտնել մեծ կողմին տարած բարձրությունը։

9×6=54սմ²
54:10=5,4սմ

8․Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 9 սմ է, իսկ 16 սմ երկարությամբ անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30°-ի անկյուն: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը:

16:2=8սմ
8×9=72սմ

9․Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը:
2×2=4
3×2=6

S=6×4=24սմ²

Պարապմունք 42

Թեմա՝ Ուղղանկյան և քառակուսու մակերեսները։

1․Գտնել բազմանկյան մակերեսի հատկությունների վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

• Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:
• Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծի քառակուսուն:
• Եթե բազմանկյունները հավասար չեն, ապա հավասար չեն նաև նրանց մակերեսները:

2․Քառակուսու կողմը 8 է: Գտնել նրա մակերեսը:

8^2=64

3․Քառակուսու մակերեսը 225 է: Գտնել նրա պարագիծը:

P=15+15+15+15=60

4․Քառակուսու մակերեսը 121 է: Գտեք նրա պարագիծը:

P=11+11+11+11=44

5․ Ուղղանկյան կից կողմերը 14 և 5 են: Գտնել ուղղանկյան մակերեսը:

S=14×5=70

6․Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 84 սմ²։ Գտնել այդ ուղղանկյան պարագիծը։

84։12=7 սմ

P=12+12+7+7=38

7․Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտնել այդ ուղղանկյան մակերեսը։

28:2=14
14:(4+3)=2
2×4=8
2×3=6
8×6=48սմ²

8․Հաշվել այն ուղղանկյան մակերեսը, որի երկարությունը 18 սմ է, իսկ լայնությունը 3 անգամ փոքր է երկարությունից:

18։3=6
18×6=108սմ²

9․Ունենք երկու ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են: Առաջին ուղղանկայն երկարությունը 14սմ է, իսկ լայնությունը 4 սմ: Մյուս ուղղանկյան լայնությունը 7սմ: Գտնել երկրորդ ուղղանկյան պարագիծը:

14×4=56
56:7=8
(7+8)x2=30սմ

10․Որքա՞ն են ուղղանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 42 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 110 սմ²:

(x+y)x2=42
xy=110

10, 11

11․Երկու հողամասերի ցանկապատերի երկարությունները հավասար են: Առաջին հողամասը ուղղանկյունաձև է՝ 200 մ և 50 մ կողմերով, իսկ երկրորդն ունի քառակուսու ձև: Ո՞ր հողամասի մակերեսն է ավելի մեծ և քանի՞ քառակուսի մետրով է մեծ:

S1=200×50=10 000
S2=200×200= 40 000

S2-S1= 40 000 -10 000 =30 000
S2-ն մեծ է 30 000-ով S1-ից։